Question

如图，在中，，，，M是AB上的动点不与A、B重合，过点M作交AC于点N，以MN为直径作，并在内作内接矩形设．

的面积______，______；用含x的代数式表示

在动点M的运动过程中，设与四边形MNCB重合部分的面积为试求y关于x的函数表达式，并求出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

Answer

（1）；；（2）y关于x的函数表达式为，当时，y的值最大，最大值为．

【解析】

在中，利用勾股定理可求出BC的值，由，利用平行线分线段成比例可求出AN、MN的值，再利用三角形的面积公式结合矩形的性质即可求出的面积S的值；

分及两种情况考虑：当时，利用的结论可得出y关于x的函数关系式，利用二次函数的性质可求出此时y的最大值；当时，由可得出BM、PF的值，利用三角形的面积公式结合可得出y关于x的函数关系式，利用二次函数的性质可求出此时y的最大值综上，此题得解．

在中，，，，

．

，

，即．

，

，，

．

四边形AMPN为矩形，

．

故答案为：；

当点M为线段AB中点时，点P落在线段BC上，

分及两种情况考虑．

当时，如图1所示．

，

，

当时，y取最大值，最大值为1；

当时，如图2所示．

，则，，

，

，

，

．

，

当x取时，y取最大值，最大值为．

综上所述：y关于x的函数表达式为，

当时，y的值最大，最大值为．