Question

已知，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．

Answer

（1）；（2）当的值最小时，点P的坐标为；（3）点M的坐标为、、或.

【解析】

由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

设点M的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．

【解析】
将、代入中，

得：，解得：，

抛物线的解析式为．

连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，如图1所示．

当时，有，

解得：，，

点B的坐标为．

抛物线的解析式为，

抛物线的对称轴为直线．

设直线BC的解析式为，

将、代入中，

得：，解得：，

直线BC的解析式为．

当时，，

当的值最小时，点P的坐标为．

设点M的坐标为，

则，，．

分三种情况考虑：

当时，有，即，

解得：，，

点M的坐标为或；

当时，有，即，

解得：，

点M的坐标为；

当时，有，即，

解得：，

点M的坐标为

综上所述：当是直角三角形时，点M的坐标为、、或