Question

如图，在四边形OBCA中，OA∥BC，∠B=90°，OA=3，OB=4．

(1)若S_{四边形AOBC}=18，求BC的长；

(2)如图1，设D为边OB上一个动点，当AD⊥AC时，过点A的直线PF与∠ODA的角平分线交于点P，∠APD=90°，问AF平分∠CAE吗?并说明理由；

(3)如图2，当点D在线段OB上运动时，∠ADM=100°，M在线段BC上，∠DAO和∠BMD的平分线交于H点，则点D在运动过程中，∠H的大小是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．

Answer

(1)6;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】（1）由梯形的面积公式即可求得BC的长；

（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∠DAC=∠O=90°，由∠DAC+∠CAF=∠ADP+∠APD，得∠CAF=∠ADP，由角平分线的定义，可得∴∠CAF=∠CAE，即可得证；

（3）由两直线平行，同旁内角互补得到∠OAD+∠DAM+∠BMD+∠DMA=180°， 由三角形内角和定理得∠OAD+∠BMD=100°，由角平分线定义得∠DAH+∠DAM=50°，由三角形内角和定理得∠H=50°，即可得到结论.

(1)在四边形OBCA中，OA∥BC，∠B=90°，

∴四边形OBCA是梯形，

∴S四边形AOBC====18，

解得：BC=6；

（2）AF平分∠CAE.

理由如下：

OA//BC，∠B＝90°

∴∠O=90°

AD⊥AC

∴∠DAC=∠O=90°

∠DAC+∠CAF=∠ADP+∠APD

∴∠CAF=∠ADP

∠ADP=∠ADO，

∴∠ADP=

∠CAE=90°-∠DAO

∴∠ADP=∠CAE

∴∠CAF=∠CAE

∴AF平分∠CAE；

(3)连接AM，

OA//BC

∴∠OAD+∠DAM+∠BMD+∠DMA=180°，

∠ADM=100°

∴∠DAM+∠DMA=80°，

∴∠OAD+∠BMD=100°，

∠DAH=∠OAD,∠DAM=∠BMD，

∴∠DAH+∠DAM=(∠OAD+∠BMD)=50°，

∴∠H=180°-50°-80°=50°，

故∠H的大小不变，∠H=50°.