Question

如图，在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为a．直线y＝bx＋c交x轴于E,交y轴于F,且a,b,c分别满足：-（a－4）²≥0，c=++8．

（1）直线y＝bx＋c的解析式为________；正方形OABC的对角线的交点D的坐标为________；

（2）若正方形OABC沿x轴负方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t秒，问是否存在t的值，使直线EF平分正方形OABC的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）点P为正方形OABC的对角线AC上的动点（端点A、C除外），PM⊥PO，交直线AB于M，在备用图中画图分析，直接写出的值．

Answer

（1）y=2x+8，  D（2，2）；（2）t=5；（3）.

【解析】

（1）由已知条件易得：a=4，b=2，c=8，由此即可得到直线EF的解析式为：y=2x+8，点B的坐标为（4，4），结合点D是正方形OABC对角线的交点可得点D的坐标为（2，2）；

（2）由点D是正方形OABC的对称中心可知，当点D落在直线EF上时，直线EF平分正方形OABC的面积，由已知条件设当点D落在EF上时的坐标为（2-t，2），将此坐标代入直线EF的解析式即可求得对应的t的值；

（3）如图2，过P点作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，结合已知条件易证四边形PNCG是正方形，四边形PGBQ是矩形，四边形OHGC是矩形，PH=PQ，∠OPH=∠MPQ，由此证得△OPH≌△MPQ，从而可得QM=OH=CG=GP=BQ=BM，结合PC=GP即可得到PC=BM，由此即可得到.

（1）∵，

∴且，

∴b=2，c=8，

∴直线y=bx+c的解析式为：y=2x+8；

∵，

∴ ，

∴a=4，

∴OA=AB=4，

∴点B的坐标为（4，4），

∴点D是正方形OABC对角线的交点，

∴点D是线段OB的交点，

∴点D的坐标为（2，2）；

（2）存在，理由如下：

如图1，∵点D是正方形OABC的对角线的交点，

∴过点D的直线都能把正方形AOCB的面积分成相等的两部分，

∴当正方形AOCB平移到直线EF过D点时，直线正好平分正方形的面积，

设平移后的D点坐标为（2-t，2），

把它代入直线y=2x+8，2（2-t）+8=2，

解得：t=5；

（3）如图2，过P点作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，

∵∠OPM=∠HPQ=90°，

∴∠OPH+∠HPM=90°，∠HPM+∠MPQ=90°，

∴∠OPH=∠MPQ，

∵AC为∠BAO平分线，且PH⊥OA，PQ⊥AB，

∴PH=PQ，

在△OPH和△MPQ中：

∴△OPH≌△MPQ（AAS），

∴OH=QM，

∵PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，四边形AOBC是正方形，

∴易得四边形CNPG为正方形，四边形PGBQ是矩形，四边形OHGC是矩形，

∴PG=BQ=CG=OH=QM，

∴PG=BM，

∵在正方形CNPG中，PC=PG，

∴PC=BM，

∴.