Question

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是CE的中点，△BCF和△CDG都是等边三角形，点M为AE的中点，连接FG．

（1）如图1，若点E在AC的延长线上，点M与点C重合，则△FMG　　　　　　等边三角形（填“是”或“不是”）

（2）将图1中的CE缩短，得到图2．求证：△FMG为等边三角形；

（3）将图2中的CE绕点E顺时针旋转一个锐角，得到图3．求证：△FMG为等边三角形．

Answer

（1）是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

(1)如图1,易证FM=BM=MD=MG, ∠FMG=60°,即可得到△FMG是等边三角形;(2)如图2,易证BD=BC+CD=AM,从而可得MD=AB.由△BCF和△CDG都是等边三角形,可得BF=BC,CD=GD, ∠FBC=60°, ∠GDC=60°,从而可证到MD=BF,BM=GD,进而可得到△FBM≌△MDG,则有MF=GM, ∠BFM=∠DMG,从而可证到∠FMG=60°,即可得到△FMG为等边三角形;(3)如图3,连接BM、DM,根据三角形中位线定理可得BM∥CE,BM= CE=CD,DM∥AC,DM=AC=BC.再根据△BCF和△CDG都是等边三角形,可得BF=BC,CD=GD, ∠FBC=60°, ∠GDC=60°,从而得到BF=BC=DM,BM=CD=GD, ∠FBC=∠GDC.由BM∥CE,DM∥AC,可得四边形BCDM是平行四边形,从而得到∠BMD=∠DCB=120°, ∠CDM=∠MBC=60°,即可得到∠FBM=∠GDM=120°,即可得到△FBM≌△MDG,则有MF=GM, ∠FMB=∠MGD,从而可得∠FMG=∠BMD-∠FMB-GMD=∠BML,即可得到△FMG为等边三角形.

（1）如图1，

∵点B是线段AC的中点，点D是CE的中点，点M为AE的中点，点M与点C重合，

∴AB=BM=AM=ME=MD=DE．

∵△BCF和△CDG都是等边三角形，点M与点C重合，

∴FM=BM，MD=GM，

∴FM=GM．

∵∠FMG=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴△FMG是等边三角形．

故答案为：是；

（2）如图2，

∵点B是线段AC的中点，点D是CE的中点，点M为AE的中点，

∴AB=BC=AC，CD=DE=CE，AM=ME=AE，

∴BD=BC+CD=AC+CE=AE=AM，即BM+MD=BM+AB，

∴MD=AB．

∵△BCF和△CDG都是等边三角形，

∴BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，

∴MD=AB=BC=BF，BM=BC﹣MC=MD﹣MC=CD=GD．

在△FBM和△MDG中，

，

∴△FBM≌△MDG，

∴MF=GM，∠BFM=∠DMG．

∵∠BFM+∠FMB+∠FBM=180°，∠DMG+∠FMB+∠FMG=180°，

∴∠FMG=∠FBM=60°，

∴△FMG为等边三角形；

（3）如图3，连接BM、DM，

∵点B是线段AC的中点，点D是CE的中点，点M为AE的中点，

∴BM∥CE，BM=CE=CD，DM∥AC，DM=AC=BC．

∵△BCF和△CDG都是等边三角形，

∴BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，

∴BF=BC=DM，BM=CD=GD，∠FBC=∠GDC．

∵BM∥CE，DM∥AC，

∴四边形BCDM是平行四边形，

∴∠BMD=∠DCB=120°，∠CDM=∠MBC=60°，

∴∠FBM=∠GDM=120°．

在△FBM和△MDG中，

，

∴△FBM≌△MDG，

∴MF=GM，∠FMB=∠MGD，

∴∠FMG=∠BMD﹣∠FMB﹣∠GMD=∠BMD﹣∠MGD﹣∠GMD

=120°﹣（180°﹣120°）=60°，

∴△FMG为等边三角形．