Question

已知抛物线y=x²+px+q与x轴的正半轴交于点A（x₁，0）和B（x₂，0）两点，x₁，x₂均为整数，且x₁≠x₂，p+q=8，则x₁²+x₂²=______．

Answer

104

【解析】由图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，就相当于方程x2+px+q=0两个根分别为x1，x2，由两根关系求解即可．

∵抛物线y=x2+px+q与x轴的正半轴交于点A（x1，0）和B（x2，0）两点，

∴x1＞0，x2＞0，

∴x1x2=q＞0，x1+x2=﹣p＞0．

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣p）2﹣2q=p2﹣2（8﹣p）=p2+2p﹣16=（p+1）2﹣17＞0，

∴p+1＜﹣4

∴p＜﹣5，

∵x1，x2均为整数，且x1≠x2，p+q=8，

∴p=﹣6，q=14，或p=﹣7，q=15或p=﹣8，q=16或p=﹣10，q=18或p=﹣12，q=20，

只有p=﹣12，q=20时，符合题意，

∴x12+x22=（p+1）2﹣17=（﹣12+1）2﹣17=104．

故答案为104．