Question

如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于点C，连接BO并延长交⊙O于点D，交PA的延长线于点E，连接AD、BC．下列结论：①AD∥PO；②△ADE∽△PCB；③tan∠EAD=；④BD²=2AD•OP．其中一定正确的是（　　）

A. ①③④    B. ②④    C. ①②③    D. ①②③④

Answer

A

【解析】连接OA，如图，

∵PA、PB分别是O的切线，

∴∠APO=∠BPO，OA⊥PA，OB⊥PB；

∴∠2=∠4，

∵OB=OC，

∴∠1=∠3，

∵∠2++∠4=∠1+∠3，

∴∠3=∠4，

∴OP∥AD，所以①正确；

∵OP∥AD，

∴∠ADE=∠POE，

∵∠POE+∠COB=180°,∠PCB+∠OCB=180°，

而∠COB≠∠OCB，

∴∠PCB≠∠POE，

∴∠PCB≠∠ADE，

∴不能判断△ADE∽△PCB，所以②错误；

∵OP∥AD，

∴∠EAD=∠EPO,，

∴，

在Rt△AOP中,∵tan∠APO=,

而OA=OD，

∴tan∠APO==P，

∴tan∠EAD=，所以③正确；

连结AB，如图，∵BD为直径，

∴∠BAD=90°，

∵OP∥AD，

∴∠ADB=∠POB，

∴Rt△ABD∽△BPO，

∴ ，

∴BD⋅BD=AD⋅OP，

∴BD2=2AD⋅OP，所以④正确。

故选A.