Question

如图，在矩形纸片中，cm，cm。点在边上，将沿折叠，得，连接, .

    (1)当点落在边上时，      ；

    (2)当点是的中点时，求的长;

    (3)当分别满足下列条件时，求相应的的长:

      ①；②.

Answer

(1)2； (2)；(3)①；② ．

【解析】（1）如图1，根据已知条件得到四边形ABPE是正方形，求得PC=2，根据勾股定理得到CE的长；

（2）如图2，取CE的中点F，连接PF，由点P是BC的中点，得到PB=PC=6，根据勾股定理得到PA的长，根据折叠的性质得到∠APE=∠APB，PE=PB=6， PC=PE，根据等腰三角形的性质得到∠EPF=∠CPF，∠PFC=90°，CE=2CF，由余角的性质得到∠CPF=∠PAB，根据相似三角形的得到CF的长，于是得到结论；

（3）①如图3，过E作MN⊥AD于M，交BC于N，则MN⊥BC，根据勾股定理得到ME的长，求得EN=MN﹣ME=2，根据相似三角形的性质得到PB的长；

②如图3，过E作EQ⊥CD于Q，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．

（1）如图1．∵将△PAB沿AP折叠，得△PAE，∴四边形ABPE是正方形，

∴PB=PE=AB=10，∴PC=2，∴CE==2．

故答案为：2；

（2）如图2，取CE的中点F，连接PF．

∵点P是BC的中点，∴PB=PC=6．

∵AB=10，∴PA==2．

∵将△PAB沿AP折叠，得△PAE，∴∠APE=∠APB，PE=PB=6，∴PC=PE．

∵点F是CE的中点，∴∠EPF=∠CPF，∠PFC=90°，CE=2CF，∴∠APF=90°，∴∠APB+∠CPF=∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPF=∠PAB，∴△PAB∽△CPF，∴，∴CF=，∴CE=2CF=；

（3）①如图3，过E作MN⊥AD于M，交BC于N，则MN⊥BC．

∵DE=CD，AE=AB=CD=DE，∴AE=10，∴AM=AD=6=BN，∴ME==8，∴EN=MN﹣ME=2，易知，△AME∽△ENP，∴，∴PE=PB=，∴PB=；

②如图4，过E作EQ⊥CD于Q．∵DE=CE，∴DQ=CD=5，∴ME=5，∴EN=MN﹣ME=5，∴AM==5，∴BN=5，同理得：，∴PE=PB=，∴PB=．