Question

如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，点H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F.

(1)求证：；

(2)若∠CGF＝90°时，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题（1）根据相似三角形判定的方法，判断出△CEH∽△GBH，即可推得结论；

（2）作EM⊥AB于M，则EM=BC=AD，AM=DE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：=3，得出BG=CE=a，AG=5a，证明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性质得出EG•EF=DE•EC，由平行线证出=，得出EF=EG，求出EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=a，即可得出结果．

试题解析：【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴．

（2）作EM⊥AB于M，如图所示：

则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：=3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EG•EF=DE•EC，∵CD∥AB，∴=，∴=，∴EF=EG，∴EG•EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==．