Question

如图①，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a＜b），点M、N分别为边AD、BC上两点（点A、C除外），连接MN．

（1）如图②，分别沿ME、NF 将MN两侧纸片折叠，使点A、C分别落在MN上的A′、C′处，直接写出ME与FN的位置关系；

（2）如图③，当MN⊥BC 时，仍按（1）中的方式折叠，请求出四边形A′EBN与四边形C′FDM 的周长（用含a的代数式表示），并判断四边形A′EBN与四边形C′FDM周长之间的数量关系；

（3）如图④，若对角线BD与MN交于点O，分别沿BM、DN将MN两侧纸片折叠，折叠后，点A、C恰好都落在点O处，并且得到的四边形BNDM是菱形，请你探索a、b之间的数量关系.

      

Answer

（1）EM∥NF ；（2）的周长与的周长相等；（3）

【解析】（1）先根据翻折变换的性质得到∠EMN=∠AMN，∠FNC′=∠MNC，再由平行线的性质可得到∠AMN=∠MNC，由平行线的判定定理即可得到ME∥FN；

（2）由折叠得知：A′E=AE，根据四边形A′EBN是矩形，即可求出四边形A′EBN的即四边形C′FDM的周长；

（3）根据折叠的性质可知OD=CD=OB=a，在△BCD中利用勾股定理即可求出b的值.

（1）EM∥NF ；

（2）∵矩形ABCD，

∴∠A=90°=∠B，

∵△AEM沿EM折叠到△

∴∠，AE=

∵MN⊥BC，

∴∠MNB=90°，

∴有矩形 ，

∴其周长为 ，

同理 四边形也为矩形，周长为，

，

∴的周长与的周长相等；

（3）∵四边形BNDM是菱形，

∴BM=MD，BD⊥MN，BO=DO，MO=NO，∠MBO=∠NBO，

∵△ABM沿BM折叠到△OBM，

∴AB=OB，AM=MO，∠ABM=∠OBM，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴∠MBO=30°，

在Rt△MBO中，∠MOB=90°，

∴BM=2MO，

设MO=x，BM=2x，

BO=

AD=AM+MD=BM+MO=3x

∴，即.