Question

如图，□ABCD中，∠A=60°，点E、F分别在边AD、DC上，DE=DF，且∠EBF=60°，若AE=2，FC=3，则EF的长度为_________________．

Answer

【解析】由DE=DF，AE=2，FC=3可知AB-BC=1,过点E作EM⊥AB垂足为M，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AM＝1，进而得出BM=BC，将△BEM顺时针旋转120°得△BEN，连接FN，可证△BFE≌△BFN，即可得出EF=FN，过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，利用勾股定理即可求出答案.

过点E作EM⊥AB垂足为M，

在Rt△AEM中，

∵∠A＝60°，

∴∠AEM＝30°，

∴AM=AE=1,

∴ME=,

∵DE=DF，AE=2，FC=3

∴DC-AD=1,

即AB-BC=1,

∴BM=BC，

将△BEM顺时针旋转120°得△BEN，连接FN，则CN=EM=,BE=BN，

∵∠EBF=60°，∠EBN=120°，

∴∠NBF=60°，

∴∠EBF=∠NBF,

∵BE=BN,BF=BF,

∴△BFE≌△BFN，

∴EF=FN，

过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，

∵∠GCN=180°-60°-90°=30°,

∴NG= NC=，

∴CG= =，

∴FG=3+=，

∴FN==,

∴EF=.

故答案为：.