Question

如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　    　；

（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；

（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．

Answer

【解析】
（1）。

（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN。

∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN。

又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF。

∴。

由（1）知，，

∴。

（3）变化。证明如下：

如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB。

∵PM∥BC，PN∥AB，

∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN。

∴△APM∽△PCN。

∴，得CN=2PM。

在Rt△PCN中，，

∴。

∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN。

又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF。

∴。

∴的值发生变化

【解析】

试题（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值：

∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC。

∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC。∴∠APE=∠PCF。

∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB。∴∠PAE=∠CPF。

∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF，

∴△APE≌△PCF（ASA）。∴PE=CF。

在Rt△PCF中，，∴。

（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；

（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值。与（1）（2）问相比较，的值发生了变化。