Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE.

(1)求证：△ECF∽△GCE；

(2)求证：EG是⊙O的切线；

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】(1)由，得∠ACD＝∠AEC，由EG∥AC，得∠G＝∠ACD，

所以，∠FCE＝∠ECG，可得三角形相似；

（2）连接OE，由OE=OA可得∠OAE=∠OEA,由GF=GE,得∠GEF=∠GFE=∠AFH,

又∠AFH+∠EAO=90°，可得∠GEF+∠AEO=90°, 即OE⊥GE,故EG是⊙O的切线.

∴，

∴∠ACD＝∠AEC，

∵EG∥AC，

∴∠G＝∠ACD，

∴∠G＝∠AEC，

∵∠FCE＝∠ECG，

∴△ECF∽△GCE.

(2)连接OE，

∵CD⊥AB，∴∠AHF＝90°，

∴∠AFH＋∠FAH＝90°，

∵EG＝FG，

∴∠GEF＝∠GFE.

∵∠GFE＝∠AFH，

∴∠GEF＝∠AFH，

∵OE＝OA，

∴∠OEA＝∠OAE，

∴∠GEO＝∠GEF＋∠FEO＝∠AFH＋∠FAH＝90°，

即OE⊥GE，

∵OE为⊙O的半径，

∴EG是⊙O的切线．