Question

如图，抛物线 （m＜0）的顶点为A，交y轴于点C．

（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；   

（2）平移直线y=x经过点A交抛物线C于另一点B，直线AB下方抛物线C上一点P，求点P到直线AB的最大距离   

（3）设直线AC交x轴于点D，直线AC关于x轴对称的直线交抛物线C于E、F两点．若∠ECF=90°，求m的值．   

    

Answer

（1）顶点A坐标；（2）P到直线AB的距离d的最大值为 ；（3）m=1.

【解析】（1）利用配方法即可解决问题；

（2）过点P作PQ∥y轴交AB于Q，如图1中，设P，首先求出PQ的最大值，点P到直线AB的最大距离d=，由此即可即可解决问题；

（3）过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于M，过点F作FN⊥MN于N，如图2中，设E（x1，y1）、F（x2，y2），由Rt△EMC∽Rt△CNF，得 ，即 ，化简得：y1y2-m（y1+y2）+m2=-x1x2，再由 ，消去y，整理得：x2+3mx+4m=0，利用根与系数关系，转化为关于m的方程即可解决问题．

（1）∵，

∴顶点A坐标 ；

（2）∵直线AB的解析式为，

设P ，

过点P作PQ∥y轴交AB于Q，如图1中，

∴Q，

∴PQ=

=

=，

当a=1-m 时，PQ有最大值为 ，

∵PQ与直线AB的夹角为45°，

∴P到直线AB的距离d的最大值为 ；

（3）A（﹣m，﹣m2+m）、C（0，m），

A′（﹣m， m2﹣m，）、C′（0，﹣m），

∴直线EF的解析式为y=﹣ mx﹣m，

设E（x1 ， y1）、F（x2 ， y2），

过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于M，过点F作FN⊥MN于N，

∵∠ECF=90°，

∴∠ECM+∠FCN=90°，∠FCN+∠CFN=90°，

∴∠ECM=∠CFN，∵∠EMC=∠FNC=90°，

∴Rt△EMC∽Rt△CNF，∴ ，

即 ，

化简得：y1y2﹣m（y1+y2）+m2=﹣x1x2，

由 ，消去y，整理得：x2+3mx+4m=0，

∴x1+x2=﹣3m，x1x2=4m，

y1y2=（﹣mx1﹣m）（﹣mx2﹣m）=﹣m3+m2，

y1+y2=m2﹣2m，

∴﹣m3+m2﹣m（m2﹣2m）+m2=﹣4m，

∴m（m²-2m-2）=0

解得m=1或1+或0，

∵m＜0，∴m=1 .