Question

如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)，B(2，3)，OC＝a.将梯形ABCO沿直线y＝x折叠，点A落在线段OC上，对应点为E.

(1)求点E的坐标；

(2)①若BC∥AE，求a的值；(提示：两边互相平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等)

②如图②，若梯形ABCO的面积为2a，且直线y＝mx将此梯形面积分为1∶2的两部分，求直线y＝mx的函数表达式．

  

Answer

(1)点E的坐标为(3，0)；(2) a＝5；(3) y＝x或y＝x.

【解析】

（1）由折叠的性质可知OE=OA，由OA的长即可确定出点E的坐标；

（2）①由平行四边形的性质可知EC=AB，结合OE的长即可求得a的值；

②根据梯形的面积公式以及梯形的面积可求得a的值，从而可求得梯形的面积，设直线y＝mx交BC于点D，点D的坐标为(xD，yD)，由直线y＝mx将梯形面积分为1∶2两部分，可得S△OCD＝4或S△OCD＝8，然后根据三角形的面积公式求得yD＝或yD＝，利用待定系数法可得直线BC的函数表达式，将yD分别代入即可求得直线y＝mx的解析式.

（1）由折叠的性质可知OE=OA，

∵A（0，3），∴OA=3，

∴OE=3，

∴点E的坐标为(3，0)；

（2）∵BC∥AE，AB∥CE，∴四边形ABCE是平行四边形，

∴CE＝AB＝2，∴OC＝OE＋CE＝5，

∴a＝5；

（3）S梯形ABCO＝ (AB＋OC)·AO＝2a，即，解得a＝6，

∴S梯形ABCO＝12，

设直线y＝mx交BC于点D，点D的坐标为(xD，yD)，

∵直线y＝mx将梯形面积分为1∶2两部分，

∴S△OCD＝×12＝4或S△OCD＝×12＝8，

当S△OCD＝4时，×6yD＝4，解得yD＝，

当S△OCD＝8时，×6yD＝8，解得yD＝，

由B(2，3)，C(6，0)，可得直线BC的函数表达式为y＝－x＋，

则当yD＝时，xD＝，此时y＝x；

当yD＝时，xD＝，此时y＝x，

综上可知y＝x或y＝x.