Question

如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D为BC边上(B，C点除外)的动点，∠EDF的两边与AB，AC分别交于点E，F，且BD＝CF，BE＝CD.

(1)求证：DE＝DF；

(2)若∠EDF＝m，用含m的代数式表示∠A的度数；

(3)连接EF，求当△DEF为等边三角形时∠A的度数．

Answer

(1)见解析；（2）180°－2m；（3）60°.

【解析】（1）利用SAS证明△BDE≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得；

（2）由△BDE≌△CFD，可得∠BDE＝∠CFD，再根据平角定义可得以及三角形内角和可得∠EDF＝∠C，结合∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠C即可推得∠A＝180°－2m；

（3）由△DEF为等边三角形，可得m＝60°，继而可求得∠A＝60°.

（1）在△BDE与△CFD中，

，

∴△BDE≌△CFD，

∴DE＝DF；

（2）∵△BDE≌△CFD，∴∠BDE＝∠CFD，

∵∠BDE＋∠EDF＋∠CDF＝180°，

∴∠EDF＋∠CDF＋∠CFD＝180°，

∵∠C＋∠CDF＋∠CFD＝180°，∴∠EDF＝∠C，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠C，∴∠A＋2∠EDF＝180°，

∴∠A＝180°－2∠EDF，即∠A＝180°－2m；

（3）∵△DEF为等边三角形，∴m＝60°，

∴∠A＝180°－2×60°＝60°.