Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．

（1）求这个抛物线的表达式；

（2）求点P的坐标；

（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．

Answer

（1）；（2）P（2，2）；（3）（﹣4，0）或（﹣2，0）．

【解析】

试题（1）利用待定系数法即可得出结论；

（2）先判断出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2，建立方程求解即可；

（3）先判断出点Q只能在点O左侧，再分两种情况讨论计算即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2﹣4ax+1，∴点C的坐标为（0，1）．

∵OB=3OC，∴点B的坐标为（3，0），∴9a﹣12a+1=0，∴a=，∴．

（2）如图，过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．

∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．

在△PCM和△PBN中，∵∠PMC=∠PNB，∠MPC=∠NPB，PC=PB，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．

设点P（a，a）．

∵PC2=PB2，∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．

解得a=2，∴P（2，2）．

（3）∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），∴A（1，0）．

∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），∴PO=，AC=，AB=2．

∵∠CAB=135°，∠POB=45°，在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，在Rt△OAC中，OC=OA，∴∠OCA=45°，∴∠ACB＜45°，∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q只有在点O左侧时．

（i）当时，∴，∴OQ=4，∴Q（﹣4，0）．

（ii）当时，∴，∴OQ=2，∴Q（﹣2，0）．

当点Q在点A右侧时，综上所述，点Q的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．