Question

在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM=AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．

（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为　   　．

（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，

①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为　   　；

②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；

③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求的值．

Answer

（1）；（2）①1；②证明见解析；（3）

【解析】

试题（1）过点N作NG⊥AB于G，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题；
（2）①利用线段中垂线的性质得到，再由三角函数求得；
②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到根据翻折的性质得到AC⊥MN,AM=A′M,AN=A′N， AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四边形AMA′N是菱形；
③根据菱形的性质得到AB=AD， 求得∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，证得得到∠NA′B=∠DMA′，用三角形相似得到结果．

试题解析：(1)如图1，过点N作NG⊥AB于G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，OD=OB，

∴

∴

∵

∴

∴

∴

故答案为：

(2)①当点A′落在AB边上,则MN为AA′的中垂线，

∴

故答案为：1；

②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，

∵

∴

∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，

∴AC⊥MN,AM=A′M,AN=A′N，

∴

∴AM=AN，

∴AM=A′M=AN=A′N，

∴四边形AMA′N是菱形；

③在菱形ABCD中，AB=AD，

∴

∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，

∴

∴∠NA′B=∠DMA′，

∴△DMA′∽△BA′N，

∴

∵

∴