Question

若抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于C．

（1）求抛物线y=﹣x²+bx+c的解析式；

（2）若点D在抛物线上，使得△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标；

（3）设抛物线的顶点为E，点F的坐标为（﹣1，4），问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段MF绕点M逆时针旋转90°得到线段MF′，且点F′恰好落在抛物线上？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3（2）D（2，3）或（2+，﹣3）或（2﹣，﹣3）；（3）（1，2）或（1，5）

【解析】（1）将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，利用待定系数法进行求解即可得；

（2）由抛物线解析式可求得点C的坐标，进而可求得△ABC的面积，即可求得△ABD的面积，点D（m，﹣m2+2m+3），由三角形面积公式即可得出结论；

（3）根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求得顶点E的坐标，结合图形证明△MEF≌△F'NM，得出ME=NF'，EF=MN=2，ME=NF'，EF=MN=2，设F'（n，﹣n2+2n+3），则N（1，﹣n2+2n+3），设M（1，a），分0＜a＜4和a＞4两种情况分别讨论即可得.

（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得

，解得：，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，

∴点C的坐标为（0，3），

∴S△ABC=×4×3=6，

∵△ABD的面积与△ABC的面积相等，

∴S△ABD=6，

∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

设点D（m，﹣m2+2m+3）

∴S△ABD=×4×|﹣m2+2m+3|=6，

∴m=0（舍）或m=2或2±，

∴D（2，3）或（2+，﹣3）或（2﹣，﹣3）；

（3）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

∴顶点E的坐标为（1，4），

∵F（﹣1，4），

∴EF=2，EF⊥EM，

∴∠FEM=90°，

∴∠EFM+∠EMF=90°，

由旋转知，MF'=MF，∠FMF'=90°，

∴∠EMF+∠NMF'=90°，

∴∠EFM=∠NMF'，

过F'作F'N⊥EM于N，

∴∠F'NM=90°=∠MEF，

∴△MEF≌△F'NM，

∴ME=NF'，EF=MN=2，

设F'（n，﹣n2+2n+3），

∴N（1，﹣n2+2n+3），

设M（1，a），

当0＜a＜4时，如图，

∴EM=4﹣a，MN=n2﹣2n﹣3+a，NF'=1﹣n，

∴2=n2﹣2n﹣3+a①，1﹣n=4﹣a②，

∴a=2或a=5（舍），

∴M（1，2），

当a＞4时，

∴EM=a﹣4，MN=a+n2﹣2n﹣3，NF'=n﹣1，

∴2=n2﹣2n﹣3+a①，n﹣1=a﹣4②，

∴a=2（舍）或a=5，

∴M（1，5），

即：满足条件的M（1，2）或（1，5）．