Question

【问题提出】已知∠AOB＝70°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度数．

【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．

（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC的度数，解答过程如下：

设∠BOC＝α，∴∠BOD＝3∠BOC＝3α，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，∴∠AOD＝∠AOC，

∴∠AOD＝∠COD＝2α，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2α+3α＝5α＝70°，∴α＝14°，∴∠BOC＝14°

问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数；

【问题延伸】（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数．

【问题解决】综上所述：∠BOC的度数分别是　       　．

Answer

（1）②∠BOC=30°；（2）作图见解析，∠BOC的度数分别是14°，30°，10°，42°．

【解析】试题分析: （1）②由已知条件得出∠COD、∠AOD、∠AOB与∠BOC的关系，求出∠BOC的度数；

（2）分类讨论，根据∠AOD、∠BOD．∠AOB与∠BOC的关系，得出∠BOC的度数．

试题解析:

（1）②设∠BOC=α，则∠BOD=3α，若射线OD在∠AOB外部，如图2：

∠COD=∠BOD﹣∠BOC=2α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD= ，

∴∠AOB=∠BOD﹣∠AOD=3α﹣= =70°，

∴α=30°．∴∠BOC=30°；

（2）当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB，

∵∠BOC＜45°，∠AOD=∠AOC，

∴射线OD的位置也只有两种可能；

①若射线OD在∠AOB内部，如图3所示，

则∠COD=∠BOC+∠COD=4α，

∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，

∴α=10°，

∴∠BOC=10°；

②若射线OD在∠AOB外部，如图4，

则∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=α，

∴∠AOB=∠BOD﹣∠AOD=3α﹣α=α=70°，

∴α=42°，

∴∠BOC=42°；

综上所述：∠BOC的度数分别是14°，30°，10°，42°．