Question

如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．

（1）求证：BF=CF；

（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC=2∠D，求平行四边形ABCD的面积．

Answer

（1）详见解析；（2）4.

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；

（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得出四边形ABEC是矩形，得出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，即可得出平行四边形ABCD的面积．

试题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，BC=AD，

∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BF=CF；

（2）【解析】
∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D．又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，

∴四边形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，

∵BC=AD=4，∴AC===2，

∴平行四边形ABCD的面积=AB•AC=2×2=4．