Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．

（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．

i．若点P正好在边BC上，求x的值；

ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．

（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．

【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；

ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2

②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．

（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．

试题解析：（1）i．如图1，

由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，

又MN∥BC，

∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，

∴∠B=∠BPM，

∴AM=PM=BM，

∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．

ii．以下分两种情况讨论：

①当0＜x≤2时，

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴，

∴，

∴AN= ，

△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，

∴，

②当2＜x＜4时，如图2，

设PM，PN分别交BC于E，F，

由（2）知ME=MB=4-x，

∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，

由题意知△PEF∽△ABC，

∴，

∴S△PEF=（x-2）2，

∴y=S△PMN-S△PEF=，

∵当0＜x≤2时，y=x2，

∴易知y最大=，

又∵当2＜x＜4时，y=，

∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，

综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．

（2））如图3，

设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．

在Rt△ABC中，BC==5；

由（1）知△AMN∽△ABC，

∴，即，

∴MN=x

∴OD=x，

过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA，

∴，

∴BM= ，AB=BM+MA=x+x=4

∴x=，

∴当x=时，⊙O与直线BC相切；

当x＜时，⊙O与直线BC相离；

x＞时，⊙O与直线BC相交．

考点：圆的综合题．