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如图,已知抛物线与x轴交于点A(﹣2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8...

如图,已知抛物线与x轴交于点A(﹣2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8).

(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;

(2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)过点B作x轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

 

(1)y=﹣x2+2x+8,顶点D(1,9); (2)存在满足条件的点P,P的坐标为(2,﹣10±8);(3)向上最多可平移72个单位长,向下最多可平移个单位长. 【解析】试题分析:(1)由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式; (2)假设存在,设出P点,解出直线CD的解析式,根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标; (3)应分两种情况:抛物线向上或下平移,设出解析式,代入点求出平移的单位长度. 试题解析:(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4). 把C(0,8)代入,得a=-1. ∴y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9, 顶点D(1,9); (2)假设满足条件的点P存在.依题意设P(2,t). 由C(0,8),D(1,9)求得直线CD的解析式为y=x+8, 它与x轴的夹角为45°. 设OB的中垂线交CD于H,则H(2,10). 则PH=|10-t|,点P到CD的距离为 又. ∴. 平方并整理得:t2+20t-92=0,解之得t=-10±8. ∴存在满足条件的点P,P的坐标为(2,-10±8). (3)由上求得E(-8,0),F(4,12). ①若抛物线向上平移,可设解析式为y=-x2+2x+8+m(m>0). 当x=-8时,y=-72+m. 当x=4时,y=m. ∴-72+m≤0或m≤12. ∴0<m≤72. ②若抛物线向下平移,可设解析式为y=-x2+2x+8-m(m>0). 由, 有-x2+x-m=0. ∴△=1-4m≥0, ∴m≤. ∴向上最多可平移72个单位长,向下最多可平移个单位长. 考点:二次函数综合题.  
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