Question

如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∠ＡＢＣ＝３０°，ＥＤ⊥ＡＢ于点Ｆ，ＣＤ切⊙Ｏ于点Ｃ，交ＥＦ于点Ｄ．

（１）∠Ｅ＝　　　　°；

（２）△ＤＣＥ是什么特殊三角形？请说明理由；

（３）当⊙Ｏ的半径为１，ＢＦ＝时，求证△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ．

Answer

（１）３０°； （２）△ＤＣＥ为等腰三角形； 理由见解析；（３）证明见解析

【解析】【试题分析】（１）ＡＢ为⊙Ｏ的直径，则

,因为∠ＡＢＣ＝３０°，则 ,因为ＥＤ⊥ＡＢ，则∠E=30°

（2）△ＤＣＥ为等腰三角形．理由：∠1=３０°，根据同角的余角相等，得∠2=30°=∠E

得△ＤＣＥ为等腰三角形.

（3）由（2）得△ＤＣＥ∽△ＯＣＢ，在Ｒt△ＡＢＣ中， 求得ＢＣ＝＝． ＡＦ＝ＡＢ－ＢＦ＝２－＝，在Ｒt△ＡＥＦ中，

则ＡＥ＝２ＡＦ＝１＋，ＣＥ＝ＡＥ－ＡＣ＝１＋－１＝．

ＣＥ＝ＢＣ＝，△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ得证。

【试题解析】

（１）ＡＢ为⊙Ｏ的直径，则

,因为∠ＡＢＣ＝３０°，则 ,因为ＥＤ⊥ＡＢ，则∠E=30°

（２）△ＤＣＥ为等腰三角形．

∵ＣＤ是⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＣＤ＝９０°．

即∠１＋∠３＝９０°（如图）．

∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°，

∴∠ＥＣＢ＝９０°，即∠２＋∠３＝９０°，

∴∠１＝∠２．∵∠Ｂ＝３０°，∴∠Ａ＝６０°；

∵ＯＣ＝ＯＢ，∴∠１＝∠Ｂ＝３０°，∴∠２＝３０°．

∵ＥＤ⊥ＡＢ于点Ｆ，∴∠Ｅ＝９０°－∠Ａ＝３０°，

∴∠Ｅ＝∠２，故△ＤＣＥ的等腰三角形；

（３）证明：在Ｒt△ＡＢＣ中，∵∠Ｂ＝３０°，

∴ＡＣ＝ＡＢ＝×２＝１．

∴ＢＣ＝＝．

ＡＦ＝ＡＢ－ＢＦ＝２－＝

在Ｒt△ＡＥＦ中，∵∠Ｅ＝３０°，

∴ＡＥ＝２ＡＦ＝１＋，

∴ＣＥ＝ＡＥ－ＡＣ＝１＋－１＝．在△ＤＣＥ和△ＯＣＢ中，

∵∠Ｅ＝∠２＝∠Ｂ＝∠１＝３０°，ＣＥ＝ＢＣ＝，∴△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ．

【方法点睛】直径所对的圆周角是直角，切线垂直于过切点的半径，这两个知识点都是中考的重点，需要理解并灵活运用。