Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.

(1)求证：AC·CD＝CP·BP；

(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BP＝.

【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；

（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．

【解析】
（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．

∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，

∴∠BAP=∠DPC，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∴AB•CD=CP•BP．

∵AB=AC，

∴AC•CD=CP•BP；

（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．

∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．

∵∠B=∠B，

∴△BAP∽△BCA，

∴．

∵AB=10，BC=12，

∴，

∴BP=．

“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．