Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A₁、A₂、A₃，…在x轴的正半轴上，点B₁、B₂、B₃，…在直线l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均为等边三角形，则△A₆B₇A₇的周长是_____．

Answer

【解析】试题解析：当x=0时，y=1，则B（0，1），

当y=0时，x=﹣，则A（﹣，0），

∴OA=，OB=1，

∵tan∠OAB= ，

∴∠OAB=30°，

∵△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，

∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°，

∴∠OB1A=∠AB2A1=∠AB3A2=30°，

∴OB1=OA=，A1B2=AA1，A2B3=AA2，

则OA1=OB1=，A1B2=AA1=2，

∴A1A2=A1B2=AA1=2OA1=2，

同理：A2A3=A2B3=2A1A2=4，

A3A4=2A2A3=8，

A4A5=2A3A4=16，

A5A6=2A4A5=32

∴A6A7=2A5A6=64，

∴△A6B7A7的周长是：3×64=192．