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如图,已知直线y=﹣x+3的图象分别交x轴于A点,交y轴于B点,抛物线y=﹣x2...

如图,已知直线y=﹣x+3的图象分别交x轴于A点,交y轴于B点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点AB两点,并与x轴交于另一点D,顶点为C

1)求CD两点的坐标;

2)求tan∠BAC

3)在y轴上是否存在一点P,使得以PBD三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

 

(1)D(﹣1,0)(2)(3)存在P(0,0),(0,﹣) 【解析】试题分析:(1)先根据直线y=-x+3求出A、B两点的坐标,然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值;根据抛物线的解析式可求出C,D两点的坐标; (2)过点C作CE⊥y轴,垂足为点E,则BE=4﹣3=1,CE=1,然后解直角三角形得到∠BAC的正切值; (3)根据三角形相似的性质和判定,分情况讨论:当点P在原点时,当点P在y轴上时,求解即可. 试题解析:(1)把y=0代入得x=3,∴A(3,0),把x=0代入得y=3,∴B(0,3), 把A(3,0),B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c, ,解得:b=2,c=3, ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴C(1,4), 把y=0代入y=﹣x2+2x+3,解得:x1=﹣1,x2=3,∴D(﹣1,0); (2)过点C作CE⊥y轴,垂足为点E,则BE=4﹣3=1,CE=1, ∴BC=,∠EBC=∠ECB=45°,又∵OB=OA=3,∴AB=3,∠OBA=∠OAB=45°, ∴∠CBA=180°﹣45°﹣45°=90°,又∵BC=,AB=3∴tan∠BAC==; (3)存在P(0,0),(0,﹣),当点P在原点时,∠BPD=90°,=, ∴=,∠BPD=∠ABC则△BPD∽△ABC;在Rt△ABC中,BC=,AB=3,∴AC=2,在Rt△BOD中,OD=1,OB=3,∴BD=,当PD⊥BD时,设点P的坐标为(0,y), 当△BDP∽△ABC时, ,即,解得y=﹣,∴点P的坐标为(0,﹣), ∴当P的坐标为(0,0)或(0,﹣)时,以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似.  
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如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)求证:OE=OF;

(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.

 

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在国家的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年3月分的5000元/m2下降到5月分的4050元/m2

(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少?

(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2?请说明理由.

 

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某旅游区有一个景观奇异的望天洞,D点是洞的入口,游人从入口进洞游览后,可经山洞到达山顶的出口凉亭A处观看旅游区风景,最后坐缆车沿索道AB返回山脚下的B处.在同一平面内,若测得斜坡BD的长为100米,坡角∠DBC=10°,在B处测得A的仰角∠ABC=40°,在D处测得A的仰角∠ADF=85°,过D点作地面BE的垂线,垂足为C.

(1)求∠ADB的度数;(2)求索道AB的长.(结果保留根号)

 

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八年级一班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型,每位同学仅选一项,根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.

类别

频数(人数)

频率

小说

 

0.5

戏剧

4

 

散文

10

0.25

其他

6

 

合计

 

1

 

根据图表提供的信息,解答下列问题:

(1)八年级一班有多少名学生?

(2)请补全频数分布表,并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比;

(3)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组,请用画树状图或列表法的方法,求选取的2人恰好是乙和丙的概率.

 

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如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx-1(x>0)的图象经过点A(1,2)和点B(m,n)(m>1),过点B作y轴的垂线,垂足为C.

(1)求该反比例函数解析式;

(2)当△ABC面积为2时,求点B的坐标.

(3)P为线段AB上一动点(P不与A、B重合),在(2)的情况下,直线y=ax﹣1与线段AB交于点P,直接写出a的取值范围.

 

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