Question

已知，抛物线与轴交于点（0，6）．

（1）求；

（2）求该抛物线的顶点坐标，并画出该抛物线的大致图像；

（3）试探索：在该抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，以适当长为半径的⊙P与两坐标轴的正半轴都相切？如果存在，请求出点P的坐标和⊙P的半径；如果不存在，试说明理由．

Answer

（1）；

（2）抛物线的顶点（， ），大致图像见解析；

（3）抛物线上存在点P(,)，使得以点P为圆心，以为半径的圆与两坐标轴的正半轴都相切.

【解析】试题分析：（1）将点C（0，6）代入抛物线y=-x2-x+c，得到关于c的方程，解方程可求c；（2）根据顶点坐标公式求顶点坐标，或把解析式配成顶点式确定顶点坐标，再画出该抛物线的大致图象；（3）设抛物线上存在点P（m，-m2-m+6），根据切线的性质可得m=-m2-m+6且m>0，解方程即可求解．

试题解析：（1）将（0,6）代入，得

（2）把代入，得

∴

∴该抛物线的顶点（， ）

大致图像如下

（3）设抛物线上存在点P（m， ）

如图，要使⊙P与两坐标轴的正半轴都相切必需：

且

解得， （舍去）

即抛物线上存在点P(,)，使得以点P为圆心，

以为半径的圆与两坐标轴的正半轴都相切

点睛：本题主要考查了二次函数的综合，涉及的知识点有：运用待定系数法求函数解析式、抛物线的顶点坐标的球阀、切线的性质、方程思想的应用，解决这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.