Question

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1，B(3,0),C(0,-3)，

（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；

（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

Answer

（1）y=x2-2x-3；（2）点P的坐标(1,-6)．（3）或

【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程，即可求得该抛物线的解析式．（2）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，若P到B、C的距离差最大，那么P点必为直线AC与抛物线对称轴的交点，可先求出直线AC的解析式，联立抛物线对称轴方程，即可得到点P的坐标．(3) 根据抛物线和圆的对称性，知圆心必在抛物线的对称轴上，由于该圆与x轴相切，可用圆的半径表示出M、N的坐标，将其入抛物线的解析式中，即可求出圆的半径；(需注意的是圆心可能在轴上方，也可能在轴下方,需要分类讨论)

试题解析：

（1）将C(0,-3)代入y=ax2+bx+c，得 c=3．

将c＝3，B(3,0)代入y=ax2+bx+c，得 ．∵是对称轴，∴

将（2）代入（1）得：， ．所以，二次函数得解析式是．

（2）AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点．

∵C点的坐标为(0,-3)，A点的坐标为(-1,0)，

∴ 直线AC的解析式是，又对称轴为，∴ 点P的坐标(1,-6)．

（3）设，所求圆的半径为r，则 ，

∵ 对称轴为， ∴．由（1）、（2）得：．

将代入解析式，得 ，

整理得： ．由于当时，，

解得，， （舍去），

当时，，解得， ， （舍去）．

所以圆的半径是或．

点睛：此题考查了二次函数解析式的确定,切线的性质等知识,综合性强,能力要求较高.考查学生数形结合的数学思想方法.