Question

如图，已知抛物线图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与端点A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．

①求证：四边形DECF是矩形；

②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，试说明变化情况．

Answer

(1) ;（2）①证明见解析; ②不变, .

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可求得；

（2）把C（m，m-1）代入y=-x2+x+2求得点C的坐标，从而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根据=2，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根据相似三角形的对应角相等求得∠ACH=∠CBH，因为∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°从而求得∠ACB=90°，先根据有两组对边平行的四边形是平行四边形求得四边形DECF是平行四边形，进而求得□DECF是矩形；

（3）根据矩形的对角线相等，求得EF=CD，因为当CD⊥AB时，CD的值最小，此时CD的值为2，所以EF的最小值是2；

试题解析：

(1)∵抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，

根据题意，得

解得

∴抛物线的解析式为： ；

（2）①证明：把C（m，m﹣1）代入得

，

解得：m=3或m=﹣2，

∵C（m，m﹣1）位于第一象限，

∴

∴m＞1，

∴m=﹣2不合舍去，只取m=3，

∴点C坐标为（3，2）.

如图，过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，

由A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5

∵ ∠AHC=∠BHC=90°

∴△AHC∽△CHB，

∴∠ACH=∠CBH，

∵∠CBH+∠BCH=90°

∴∠ACH+∠BCH=90°

∴∠ACB=90°，

∵DE∥BC，DF∥AC，

即四边形DECF是平行四边形，

∴四边形DECF是矩形；

（3）∵DE∥BC

∴ΔAED∽ΔACB

∴ （1）

同理： （2）

设, 则

由(1)得

∴

由(2)得

∴

∴DE、DF、CF的长度之和不变.

点睛：本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上点的坐标的求法，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质等，本题是二次函数的综合性题，其难点是三角形相似的判定：两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.