Question

（2012•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．

（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；

（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．

Answer

（1）ED与⊙O的位置关系是相切；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则=，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD∥AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线；

（2）首先证明△FBD∽△BAD，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求DF的长，继而求得答案．

【解析】
（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：

连接OD，

∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，

∴=，

∴OD⊥BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

即BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴OD⊥DE，

∴ED与⊙O的位置关系是相切；

（2）连接BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

在直角△ABD中，BD===，

∵AB为直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

又∵∠AFC=∠BFD，

∴∠FBD=∠CAD=∠BAD

∴△FBD∽△BAD，

∴=

∴FD=

∴AF=AD﹣FD=5﹣=．

考点：切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．