Question

如图，在中， ， 是中线， 是的中点，过点作// 交的延长线于点，连接（8分）

  (1)求证: ;

  (2)当ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形.并说明理由.

Answer

(1)证明见解析;(2) 当AB=AC时四边形ADCF是矩形，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AD=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；（2）由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是矩形．

试题解析：(1)证明：∵AF∥BC，

∴∠EAF=∠EDB，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB(ASA)，

∴AF=BD，

∵在△ABC中,∠BAC=90∘，AD是中线，

∴AD=BD=DC=12BC，

∴AD=AF；

(2) 当AB=AC时四边形ADCF是矩形，

∵AF=BD=DC,AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AB=AC，AD是中线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°,

∴四边形ADCF是矩形。