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如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的...

如图,以RtABCAC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点PBC的中点,连接EP AD.

(1)求证:PE是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为3,∠B=30°,求P点到直线AD的距离.

 

(1)证明见解析;(2) 【解析】分析:(1)先作辅助线,连接EC,AP,PO.根据直径所对的圆周角为直角可得,根据p为BC中点,可得.由OP=OP可证△OPE△≌△OPC,推出 根据切线性质,所以PE是⊙O的切线。 (2)P点到直线AD的距离为d,根据等边三角形的判定可得△𝑂𝐸𝐴为等边三角形,得到∠EOA=60°,再由勾股定理计算结果. 本题解析:(1)证明:如图,连接EC,AP,PO. AC为的直径, . 又 为的斜边的中点, . 在△OPE和△OPC中, △OPE△≌△OPC(), 即 PF是⊙O的切线. (2)设P点到直线AD的距离为,记△PAD的面积为 (下同), 则有: , .① ⊙O的半径为3, 由勾股定理得 分别为的中点, ∥, △为正三角形, . , 又 在中,由勾股定理得: . 将以上数据代入①式得:  
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