Question

如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。

⑴如图1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是          ；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是              ；

⑵请你证明上述两种猜想？

Answer

⑴①DE=EF；②NE=BF；（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）根据图形可以得到DE=EF，NE=BF；（2）根据正方形的性质及N，E分别为AD，AB的中点可得DN=EB，再根据角平分线的性质及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF，即可证得△DNE≌△EBF，从而证得结论.

试题解析：

⑴①DE=EF；②NE=BF。

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，

∴DN=EB

∵BF平分∠CBM，AN=AE

∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°

∵∠NDE+∠DEA=90°∠BEF+∠DEA=90°

∴∠NDE=∠BEF

∴△DNE≌△EBF

∴ DE=EF，NE=BF

点睛：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE≌△EBF．