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如图,已知△ABC中,BD、CE是高, F是BC中点,连接DE、EF和DF, (...

如图,已知ABC中,BDCE是高, FBC中点,连接DEEFDF

(1)求证:DEF是等腰三角形.

(2)若∠A=45°,试判断DEF的形状,并说明理由. (3)若∠A:∠DFE=5:2,BC=4,求DEF的面积.

 

(1)证明见试题解析;(2)△DEF是等腰直角三角形,理由见试题解析;(3)1. 【解析】试题分析:(1)由直角三角形斜边上直线的性质可得:EF=BC=DF;故△DEF为等腰三角形; (2)由△BEF和△DFC为等腰三角形和∠A=45°,求出∠EFD的度数即可; (3)设∠A=5,则∠DFE=2,用(2)类似的方法求出∠DFE=30°,作出△EDF边DF上的高EG,求出EG的长即可. 试题解析:(1)证明:∵BD、CE是高,F是BC中点,∴EF=BC=DF,∴△DEF是等腰三角形. (2)△DEF是等腰直角三角形;理由:∵∠A=45°,∴∠EBF+∠DCF=180°-45°=135°,∵EF=BC=DF,∴∠EBF=∠FEB,同理,∠DCF=∠FDC,∴∠FEB+∠FDC=135°, ∴∠BFE+∠CFD=180°+180°-135°-135°=90°,∴∠DFE=180°-90°=90°,∴△DEF是等腰直角三角形. (3)作EG⊥DF于G,设∠A=5,∠DFE=2,∵EF=BF,DF=FC,∴∠FBE=∠BEF,∠FCD=∠FDC, ∴∠BFE+∠CFD=180°-2∠FBE+180°-2∠FCD=2(180°-∠FBE-∠FCD)=2∠A=,∵,∴∠DFE=2,∵BC=4,∴DF=EF=2,∴EG=1,∴△DEF面积1. 考点:1.直角三角形斜边上的中线;2.等腰三角形的判定与性质;3.三角形内角和定理;4.含30度角的直角三角形.  
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考点分析:
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