Question

如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．

（1）求证：DF⊥AB；

（2）若AF的长为2，求FG的长．

Answer

(1)详见解析；（2）FG=3 ．

【解析】

试题分析：（1）连结OD，根据切线的性质由DF是圆的切线得∠ODF=90°，再根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，而OD=OC，所以∠ODC=60°=∠A，于是可判断OD∥AB，根据平行线的性质得DF⊥AB；（2）在Rt△ADF中，由∠A=60°得到∠ADF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2AF=4，再证明OD为△ABC的中位线，则AD=CD=4，即AC=8，所以AB=8，BF=AB﹣AF=6，然后在Rt△BFG中，根据正弦的定义计算FG的长．

试题解析：（1）证明：连结OD，如图，

∵DF是圆的切线，

∴OD⊥DF，

∴∠ODF=90°，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，

而OD=OC，

∴∠ODC=60°，

∴∠ODC=∠A，

∴OD∥AB，

∴DF⊥AB；

（2）【解析】
在Rt△ADF中，∠A=60°，

∴∠ADF=30°，

∴AD=2AF=2×2=4，

而OD∥AB，点O为BC的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴AD=CD=4，即AC=8，

∴AB=8，

∴BF=AB﹣AF=6，

∵FG⊥BC，

∴∠BGF=90°，

在Rt△BFG中，sinB=sin60°= ，

∴FG=6×=3 ．

考点：切线的性质；等边三角形的性质．