Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣8，3），B（﹣4，0），C（﹣4，3），∠ABC=α°．抛物线y=x²+bx+c经过点C，且对称轴为x=﹣ ，并与y轴交于点G．

（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；

（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF．若点F恰好落在抛物线上．

①求m的值；

②连接CG交x轴于点H，连接FG，过B作BP∥FG，交CG于点P，求证：PH=GH．

Answer

【解析】

试题分析：（1）把点C坐标代入y=x2+bx+c得一方程，用对称轴公式得另一方程，组成方程组求出解析式，并求出G点的坐标；（2）①作辅助线，构建直角△DEF斜边上的高FM，利用直角三角形的面积相等和勾股定理可表示F的坐标，根据点F在抛物线上，列方程求出m的值；②F点和G点坐标已知，可以求出直线FG的方程，那么FG和x轴的交点坐标（设为Q）可以知道，C点坐标已知，CG的方程也可以求出，那么H点坐标可以求出，可以证明△BPH和△QGH全等．

试题解析：（1）根据题意得：

解得：

∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣，点G（0，﹣）；

（2）①过F作FM⊥y轴，交DE于M，交y轴于N，

由题意可知：AC=4，BC=3，则AB=5，FM= ，

∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，

∴E（﹣4+m，0），OE=MN=4﹣m，FN=﹣（4﹣m）=m﹣，

在Rt△FME中，由勾股定理得：EM==，

∴F（m﹣，），

∵F抛物线上，

∴=（m﹣）2+（m﹣）﹣，

5m2﹣8m﹣36=0，

m1=﹣2（舍），；

②F（，），

∴F（2，），

易求得FG的解析式为：y=x﹣，

CG解析式为：y=﹣x﹣，

∴x﹣=0，x=1，则Q（1，0），

﹣x﹣=0，x=﹣1.5，则H（﹣1.5，0），

∴BH=4﹣1.5=2.5，HQ=1.5+1=2.5，

∴BH=QH，

∵BP∥FG，

∴∠PBH=∠GQH，∠BPH=∠QGH，

∴△BPH≌△QGH，

∴PH=GH．

考点：二次函数综合题．