Question

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．

阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是 的中点，

∴MA=MC．

…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是  ．

Answer

(1)详见解析；（2）2+2．

【解析】

试题分析：（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．

试题解析：（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA=MC．

在△MBA和△MGC中

∵ ，

∴△MBA≌△MGC（SAS），

∴MB=MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD=GD，

∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2）【解析】
如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，

由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，

在△ABF和△ACD中

∵，

∴△ABF≌ACD（SAS），

∴AF=AD，

∵AE⊥BD，

∴FE=DE，则CD+DE=BE，

∵∠ABD=45°，

∴BE==，

则△BDC的周长是2+2 ．

考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．