Question

已知抛物线y=x²﹣（2m+1）x+m²+m﹣2（m是常数）．

（1）求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）若抛物线与x轴两交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＞x₂），且AB=1+，求m的值．

Answer

(1)详见解析；（2）m的值为4．

【解析】

试题分析：（1）先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行证明；（2）利用求根公式方程x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2=0得x1=m+2，x2=m﹣1，则AB=|x1﹣x2|=3，然后解方程1+ =3即可．

试题解析：（1）证明：∵△=（2m+1）2﹣4（m2+m﹣2）=9＞0，

∴无论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）解方程x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2=0得x1=m+2，x2=m﹣1，

∵AB=|x1﹣x2|=3

∵AB=1+，

∴1+=3，解得m=4，

经检验x=4是分式方程的解，

∴m的值为4．

考点：抛物线与x轴的交点．