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如图,四边形ABCD为矩形,E为BC边中点,以AD为直径的⊙O与AE交于点F. ...

如图,四边形ABCD为矩形,E为BC边中点,以AD为直径的O与AE交于点F.

(1)求证:四边形AOCE为平行四边形;

(2)求证:CF与O相切;

(3)若F为AE的中点,求ADF的大小.

 

 

(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)30°. 【解析】 试题分析:(1)根据矩形的性质得到AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°,由E为BC边中点,AO=DO,得到AO=AD,EC=BC,等量代换得到AO=EC,AO∥EC,即可得到结论; (2)利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形,进而得出△ODC≌△OFC(SAS),求出OF⊥CF,进而得出答案; (3)如图,连接DE,由AD是直径,得到∠AFD=90°,根据点F为AE的中点,得到DF为AE的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质得到DE=AD,推出△ABE≌△DCE,根据全等三角形的性质得到AE=DE,推出三角形ADE为等边三角形,即可得到结论. 试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°, ∵E为BC边中点,AO=DO, ∴AO=AD,EC=BC, ∴AO=EC,AO∥EC, ∴四边形OAEC是平行四边形; (2)如图1,连接OF, ∵四边形OAEC是平行四边形 ∴AE∥OC, ∴∠DOC=∠OAF, ∠FOC=∠OFA, ∵OA=OF, ∴∠OAF=∠OFA, ∴∠DOC=∠FOC, 在△ODC与△OFC中, , ∴△ODC≌△OFC(SAS), ∴∠OFC=∠ODC=90°, ∴OF⊥CF, ∴CF与⊙O相切; (3)如图2,连接DE, ∵AD是直径, ∴∠AFD=90°, ∵点F为AE的中点, ∴DF为AE的垂直平分线, ∴DE=AD, 在△ABE与R△DCE中, , ∴△ABE≌△DCE, ∴AE=DE, ∴AE=DE=AD, ∴三角形ADE为等边三角形, ∴∠DAF=60°, ∴∠ADF=30°. 考点:圆的综合题.  
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