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如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F...

如图1,在正方形ABCD内作EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AHEF,垂足为H.

(1)如图2,将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG.

①求证:AGE≌△AFE;

②若BE=2,DF=3,求AH的长.

(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?并说明理由.

 

 

(1)①详见解析;②6;(2)MN2=ND2+BM2,,理由见解析. 【解析】 试题分析:(1)①由旋转的性质可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG,接下来在证明∠GAE=∠FAE,然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可;②由全等三角形的性质可知:AB=AH,GE=EF=5.设正方形的边长为x,在Rt△EFC中,依据勾股定理列方程求解即可;(2)将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′.在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2,接下来证明△AMN≌△ANM′,于的得到MN=NM′,最后再由BM=DM′证明即可. 试题解析:(1)①由旋转的性质可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG. ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠BAD=90°. 又∵∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°. ∴∠BAG+∠BAE=45°. ∴∠GAE=∠FAE. 在△GAE和△FAE中, ∴△GAE≌△FAE. ②∵△GAE≌△FAE,AB⊥GE,AH⊥EF, ∴AB=AH,GE=EF=5. 设正方形的边长为x,则EC=x﹣2,FC=x﹣3. 在Rt△EFC中,由勾股定理得:EF2=FC2+EC2,即(x﹣2)2+(x﹣3)2=25. 解得:x=6. ∴AB=6. ∴AH=6. (3)如图所示:将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′. ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠ABD=∠ADB=45°. 由旋转的性质可知:∠ABM=∠ADM′=45°,BE=DM′. ∴∠NDM′=90°. ∴NM′2=ND2+DM′2. ∵∠EAM′=90°,∠EAF=45°, ∴∠EAF=∠FAM′=45°. 在△AMN和△ANM′中,, ∴△AMN≌△ANM′. ∴MN=NM′. 又∵BM=DM′, ∴MN2=ND2+BM2. 考点:四边形综合题.  
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