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四边形ABCD的对角线交于点E,有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点...

四边形ABCD的对角线交于点E,有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E,圆心为O

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(1)利用图1,求证:四边形ABCD是满分5 manfen5.com菱形

(2)如图2,若CD的延长线与半圆相切于点F,已知直径AB=8

①连结OE,求△OBE的面积

②求弧AE的长

 

(1)证明见解析;(2)①4,②. 【解析】 试题分析: (1)利用对角线互相平分可先判断四边形ABCD为平行四边形,再利用直径对的圆周角是90°可得到AC⊥BD,就可判断是菱形.(2)①连接OF,可得OF为△ABD边AB上的高,可求得△ABD的面积为16,△AEB面积为△ABD的面积的一半,即等于8,△OEB的面积为△AEB面积的一半,即等于4;④过点D作DH⊥AB于点H.可得四边形OFDH为矩形,在Rt△ADH中利用三角函数可求得∠DAH=30°,进而可求得∠AOE的度数,弧AE的长度可求. 试题解析:(1)∵AE=EC,BE=ED, ∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB为直径,且过点E,∴∠AEB=90°,即AC⊥BD.而四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.(2)①连结OF.∵CD的延长线与半圆相切于点F,∴OF⊥CF.∵FC∥AB,∴OF即为△ABD的AB边上的高.S△ABD=AB×OF=×8×4=16.∵点O,E分别是AB,BD的中点,∴S△ABE=S△ABD=8,所以,S△OBE=S△ABE=4.②过点D作DH⊥AB于点H.∵AB∥CD,OF⊥CF, ∴FO⊥AB,∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°.∴四边形OHDF为矩形,即DH=OF=4.在Rt△DAH中,sin∠DAB==,∴∠DAH=30°.∵点O,E分别为AB,BD中点,∴OE∥AD,∴∠EOB=∠DAH=30°.∴∠AOE=180°-∠EOB=150°.∴弧AE的长=. 考点:1圆的有关知识;2菱形的判定.  
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考点分析:
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  _____ 

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______

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____

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