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矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得点B落在CD边上的点P处. ...

矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得点B落在CD边上的点P处.

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1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接APOPOA.若△OCP与△PDA的面积比为14,求边CD的长.

2)如图2,在(1)的条件下,擦去AOOP,连接BP.动点M在线段AP上(不与点PA重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MNPB于点F,作MEBP于点E.试问动点MN在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?若不变,求出线段EF的长度;若变化,说明理由.

 

(1)10;(2). 【解析】 试题分析:(1)先证出∠C=∠D=90°,再根据∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可证出△OCP∽△PDA;根据△OCP与△PDA的面积比为1:4,得出CP=AD=4,设OP=x,则CO=8﹣x,由勾股定理得列方程,求出x,最后根据CD=AB=2OP即可求出边CD的长; (2)作MQ∥AN,交PB于点Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根据ME⊥PQ,得出EQ=PQ,根据∠QMF=∠BNF,证出△MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,由(1)中的结论求出PB的长,最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变. 试题解析:(1)如图1,∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°,∵由折叠可得∠APO=∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3,又∵∠D=∠C,∴△OCP∽△PDA;∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,∴=,∴CP=AD=4,设OP=x,则CO=8﹣x,在Rt△PCO中,∠C=90°,由勾股定理得 :,解得:x=5,∴CD=AB=AP=2OP=10,∴边CD的长为10; (2)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2,∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP,∴MP=MQ,∵BN=PM,∴BN=QM.∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=PQ.∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF,在△MFQ和△NFB中,∵∠QFM=∠NFB,∠QMF=∠BNF,MQ=BN,∴△MFQ≌△NFB(AAS),∴QF=QB,∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB,由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,∴PB==,∴EF=PB=,∴在(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,它的长度为. 考点:翻折变换(折叠问题);矩形的性质;相似形综合题.  
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