Question

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．
求证：（1）PD=PE；
（2）PE²=PA•PB．

Answer

（1）求PD=PE，可证所对的角相等；连接OC、OD，C是半圆ACB的中点，则CO⊥AB；由切线的性质易知OD⊥PD，则∠CEO和∠PDE是等角的余角，所以∠CEO=∠PDE，而∠CEO和∠PED是对顶角，等量代换后即可证得所求的结论；
（2）由于PD=PE，证PD2=PA•PB，可将乘积式化为比例式，然后证对应的三角形相似即可，即连接AD、BD，证△PBD∽△PDA．
证明：（1）连接OC、OD，（1分）
∵C是半圆ACB的中点
∴∠COA=∠COB
∵∠COA+∠COB=180°
∴∠COA=∠COB=90°
∴OD⊥PD，OC⊥AB．
∴∠PDE=90°-∠ODE，
∠PED=∠CEO=90°-∠C，
又∵OC=OD，
∴∠C=∠ODE，
∴∠PDE=∠PED．（4分）
∴PE=PD．（5分）

（2）连接AD、BD，（6分）
∴∠ADB=90°．
∵∠BDP=90°-∠ODB，∠A=90°-∠OBD，
又∵∠OBD=∠ODB，∴∠BDP=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△PDB∽△PAD．（8分）
∴，∴PD2=PA•PB．
∴PE2=PA•PB．（10分）