Question

已知：如图：菱形ABCD中，∠BAD=120°，动点P在直线BC上运动，作∠APM=60°，且直线PM与直线CD相交于点Q，Q点到直线BC的距离为QH．

（1）若P在线段BC上运动，求证CP=DQ；
（2）若P在线段BC上运动，探求线段AC、CP、CH的一个数量关系，并证明你的结论；
（3）若动点P在直线BC上运动，菱形ABCD周长为8，AQ=，求QH．（可使用备用图）

Answer

（1）根据题意，作PE∥CD交AC于E，可证得△APE≌△QPC，△APQ是等边三角形，然后再证△AQD、△APC全等即可．
（2）根据AC=CD=CQ+QD=CQ+PC，在Rt△CQH中，∠QCH=60°，那么CQ=2CH，得解；
（3）用方程思想，在Rt△PQH中，结合勾股定理即来解．要注意分两种情况讨论：
①点P在射线BC上时，②点P在CB的延长线上时．（两种情况下PH的表达式有差别）
（1）证明：作PE∥CD交AC于E，则△CPE是等边三角形∠EPQ=∠CQP．
又∵∠APE+∠EPQ=60°，∠CQP+∠CPQ=60°
∴∠APE=∠CPQ
又∵∠AEP=∠QCP=120°，PE=PC
∴△APE≌△QPC
∴AE=QC，AP=PQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠2+∠3=60°，
∵∠1+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
∴△AQD≌△APC，
∴CP=DQ．

（2）∵AC=CD，CD=CQ+QD，
∴AC=CQ+QD，
∵CP=DQ，
∴AC=CQ+PC，
又∵∠CHQ=90°，∠QCH=60°，
∴∠CQH=30°，
∴CQ=2CH，
∴AC=CP+2CH；

（3）此题分两种情况讨论：
①当点P在射线BC上时；
设CH=x，则QH=x，PC=2-2x，由勾股定理得，
（x）2+（2-x）2=6，解得x=（舍去负的），
∴，∴QH=x=．
②当点P在CB的延长线上时（如图）；
在Rt△CHQ中，∠PCQ=60°，
设CH=x，QH=x，CQ=2x；
则PH=PC-CH=2+2x-x=2+x；
在Rt△PHQ中，PQ=AQ=，PH=2+x，QH=x，由勾股定理得：
（2+x）2+3x2=6，解得：x=（负值舍去）；
∴QH=x=．