Question

如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；
（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？

Answer

（1）当四边形PFEH是矩形时，∠FEH=90°；易证得△ABE≌△DCE，则∠AEB=∠DEC=45°；那么△ABE、△DCE是等腰直角三角形，此时AB=BE=EC=CD，故矩形ABCD满足长是宽的2倍时，四边形PFEH是矩形；
（2）若矩形PHEF是正方形，则PF=PH，此时可证得△PAF≌△PDH，则AP=PD，所以当P为AD中点时，矩形PHEF变为正方形．
【解析】
（1）AD=2AB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD；
∵E是BC的中点，
∴AB=BE=EC=CD；
则△ABE、△DCE是等腰Rt△；
∴∠AEB=∠DEC=45°；
∴∠AED=90°；
四边形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四边形PFEH是矩形；

（2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下：
由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；
∴∠FAP=∠HDP=45°；
又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，
∴Rt△AFP≌Rt△DHP；
∴PF=PH；
在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．