Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）猜一猜，MN与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果∠BCD=45°，BD=2，求MN的长．

Answer

（1）在直角△ABC中，中线BM=AC；在直角△ADC中，DM=；在△BMD中，N是中点，所以，根据这些条件很容易推出MN⊥BD；
（2）在三角形中，一个内角的补角等于另外两个内角的和，根据三角形的这一性质，求得∠BMD=2∠BAD=90°，所以MN=．
【解析】
（1）猜想MN⊥BD．
证明：连接BM，DM，∵∠ABC=90°，
AM=MC，
∴，
同理，
∴BM=DM，
∵BN=ND，
∴MN⊥BD

（2）∵AM=BM，
∴∠BMC=∠MAB+∠ABM=2∠BAM，
同理∠CMD=2∠CAD，
∴∠BMD=2∠BCD=90°，
∵BM=MD，
∴△BMD是等腰直角三角形（9分），
∴．