Question

如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（8，0），B点的坐标为（0，6），动点P以2/秒的速度从点B出发，沿BA向点A移动，同时动点Q以1/秒的速度从点A出发，沿AO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）．
（1）求AB的长；
（2）若四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，求t的值；
（3）在P、Q两点移动的过程中，能否使△APQ与△AOB相似？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）根据勾股定理可求得AB的长；
（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t，过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO，由对应线段成比例求得PC=；再由四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，得出，由三角形的面积公式求解；
（3）若△APQ与△AOB相似，则要考虑以下2种情况：①∠AQP=90°，②∠APQ=90°．
【解析】
（1）由已知得，OA=8，OB=6（1分）
在Rt△ABO中，∠O=90°，由勾股定理得，
（3分）

（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t
过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO
∴

∴
解得，PC=（4分）
∵四边形BPQO的面积：△APQ的面积的比=17：3
∴（5分）
∴
解得，t1=2，t2=3（7分）

（3）若△APQ与△AOB相似，则有以下2种情况：
①∠AQP=90°
∴（8分）
解得，（9分）
此时，PQ=，OQ=
∴（10分）
②∠APQ=90°
过P作PD⊥OA于D
∴

解得，（11分）
此时，PD=，OD=，
∴（12分）
综上所述，满足条件的P点的坐标为或（13分）