Question

如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，E是AC边上一点，ED⊥AB于点D，EF⊥BC于F，设AD为x，四边形EFBD的面积为y．
（1）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）求E点在AC边上的什么位置时，四边形EFBD的面积最大，最大面积是多少？

Answer

（1）易知四边形EFBD为矩形，y=DB•DE=（4-x）•DE，根据△ADE∽△ABC得关系式表示DE的长，从而表示面积；
（2）根据二次函数的性质求最大值即可．
【解析】
（1）∵∠B=90°，ED⊥AB，EF⊥BC
∴四边形EFBD为矩形．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，DE=2x
又∵BD=4-x，
∴y=（4-x）•2x=-2x2+8x
∵E是AC边上一点，
∴0＜x＜4

（2）∵-2＜0，
∴函数有最大值．
即当x=-=2时，y最大值==8
当x=2时，AE==2．
即AE=2时，四边形EFBD的面积最大，最大面积是8．