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如图,已知:在⊙O中,直径AB=4,点E是OA上任意一点,过E作弦CD⊥AB,点...

如图,已知:在⊙O中,直径AB=4,点E是OA上任意一点,过E作弦CD⊥AB,点F是manfen5.com 满分网上一点,连接AF交CE于H,连接AC、CF、BD、OD.
(1)求证:△ACH∽△AFC;
(2)猜想:AH•AF与AE•AB的数量关系,并说明你的猜想;
(3)探究:当点E位于何处时,S△AEC:S△BOD=1:4,并加以说明.

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(1)根据垂径定理得到弧AC=弧AD,再根据圆周角定理的推论得到∠F=∠ACH,根据两个角对应相等证明两个三角形相似; (2)连接BF,构造直角三角形,把要探索的四条线段放到两个三角形中,根据相似三角形的判定和性质证明; (3)根据三角形的面积公式,得到两个三角形的面积比即为AE:OB,进一步转化为AE:AO的比,再根据半径的长求得OE的长. (1)证明:∵直径AB⊥CD, ∴, ∴∠F=∠ACH, 又∠CAF=∠FAC, ∴△ACH∽△AFC. (2)【解析】 AH•AF=AE•AB. 证明:连接FB, ∵AB是直径, ∴∠AFB=∠AEH=90°, 又∠EAH=∠FAB, ∴Rt△AEH∽Rt△AFB, ∴, ∴AH•AF=AE•AB. (3)【解析】 当时,S△AEC:S△BOD=1:4. 理由:∵直径AB⊥CD, ∴CE=ED, ∵S△AEC=AE•EC, S△BOD=OB•ED, ∴===, ∵⊙O的半径为2, ∴, ∴8-4OE=2, ∴OE=. 即当点E距离点O 时S△AEC:S△BOD=1:4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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